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【知识背景】

“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,通常称为“将军饮马”。

如图,将军在图中点A处,现在他要带马去河边喝水,之后返回军营,问:将军怎么走能使得路程最短?这个问题被称为“将军饮马”的问题,便流传至今.

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【问题原型】将军饮马 造桥选址

【涉及知识】两点之间线段最短;垂线段最短;三角形两边三边关系; 轴对称;平移.

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【常见模型】

一、两定一动型:

问题:在直线l上找一个动点P,使动点P到两定点A与B的距离之和最小,即PA+PB最小.

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二、两动一定型:

问题:在∠MON的内部有一点A,在OM上找一点B,在ON上找一点C,使得△BAC的周长最小.

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三、两定两动型(造桥选址):

问题:已知,A,B是两个定点,在定直线L上找两个动点M与N,且MN长度等于定长d(动点M位于动点N左侧),使AM+NM+NB的值最小.

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四、垂线段最短型:

问题:在∠NOM的内部有一点A,在OM上找一点B,在ON上找一点C,使得AB+BC最短.

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【应用举例】

1.(2019春?东阳市期末)如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足S△PAB=1/3S矩形ABCD,则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值为( )

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A.5B.2√13C.2√2D.4√2

【解答】设△ABP中AB边上的高是h.

∵S△PAB=1/3S矩形ABCD,∴1/2AB?h=1/3AB?AD,∴h=2/3AD=2,

∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,如图,作A关于直线l的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.

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在Rt△ABE中,∵AB=4,AE=2+2=4,

∴由勾股定理可求得BE=4√2,即PA+PB的最小值为4√2.故选:D.

2.(2019?港南区四模)如图,点P是∠AOB内任意一点,∠AOB=30°,OP=8,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值为( )

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A.5B.6C.8D.10

【解答】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OP、OC、OD、PM、PN.

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∵点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,

∴PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA;

∵点P关于OB的对称点为D,

∴PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,

∴OC=OD=OP=8cm,∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°,

∴△COD是等边三角形,∴CD=OC=OD=8.

∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=8,故选:C.

3. (2019春?梁溪区期末)如图,正方形ABCD的边长为3,E、F是对角线BD上的两个动点,且EF=√2,连接AE、AF,则AE+AF的最小值为( )

A.2√5B.3√2C.9/2D.22/5

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【解答】如图作AH∥BD,使得AH=EF=√2,连接CH交BD于F,则AE+AF的值最小.

∵AH=EF,AH∥EF,∴四边形EFHA是平行四边形,∴EA=FH,

∵FA=FC,∴AE+AF=FH+CF=CH,

∵四边形ABCD是正方形,

∴AC⊥BD,∵AH∥DB,∴AC⊥AH,∴∠CAH=90°,

在Rt△CAH中,由勾股定理可求得CH=2√5,

∴AE+AF的最小值2√5,故选:A.

4.(2019秋?沙坪坝区校级月考)如图已知EF∥GH,AC⊥EF于点C,BD⊥EF于点D交HG于点K.AC=3,DK=2,BK=4.

(1)若CD=6,点M是CD上一点,当点M到点A和点B的距离相等时,求CM的长;

(2)若CD=13/2,点P是HG上一点,点Q是EF上一点,连接AP,PQ,QB,求AP+PQ+QB的最小值.

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【解答】(1)如图1中,连接AB,作线段AB的中垂线MN,交AB于N,交EF于M,连接AM,BM.设DM=x.

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(2)如图2中,如图,作点A故直线GH 的对称点A′,点B关于直线EF的对称点B′,连接A′B′交GH于点P,交EF于点Q,作B′H⊥CA交CA的延长线于H.

则此时AP+PQ+QB的值最小.

根据对称的性质可知:PA=PA′,QB=QB′,

∴PA+PQ+QB=PA′+PQ+QB′=A′B′,

∴PA+PQ+PB的最小值为线段A′B′的长,

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【总结反思】

我们已经知道,类似的“将军饮马”问题,最关键的就是要作对称,但怎么做,可能大家并不是十分明确,我们再来好好体会一下:

首先,明确定点,定线,动点.

1.必然是作定点关于定线的对称点!

2.作的次数需要看动点个数!有几个动点在哪些定线上,那么相应的定点就要做关于这些定线的对称点.

原题,只要在一条定线上找一个动点,那只需作定点关于定线的一个对称点.

变式1,要在两条定线找两个动点,则需要作作定点关于定线的两个对称点,即两次.

变式2,要在两条定线找两个动点,则需要作作定点关于定线的对称点与定点关于定线的对称点,也是2个,即2次.

3.作完对称点如何连接也需看作对称次数!

原题,把对称点直接连接另一个定点,则连线与定线上的交点,即为动点.

变式1,把两个对称点连接,与定线上的交点即为动点,分别与定点(军营A)相连.

变式2,把两个对称点连接,与定线上的交点即为动点,分别与定点相连.

如果用口诀来总结,那就是:定点定线作对称,次数就看动点数. 一次对称直连定, 两次对称先相连.

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