【知识背景】
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？这个问题被称为“将军饮马”的问题，便流传至今.
【问题原型】将军饮马 造桥选址
【涉及知识】两点之间线段最短;垂线段最短;三角形两边三边关系; 轴对称;平移.
【常见模型】
一、两定一动型：
问题：在直线l上找一个动点P，使动点P到两定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.
二、两动一定型：
问题：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC的周长最小.
三、两定两动型(造桥选址)：
问题：已知，A,B是两个定点，在定直线L上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d(动点M位于动点N左侧)，使AM+NM+NB的值最小.
四、垂线段最短型：
问题：在∠NOM的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB+BC最短.
【应用举例】
1.（2019春?东阳市期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝1/3S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．5B．2√13C．2√2D．4√2
【解答】设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝1/3S矩形ABCD，∴1/2AB?h＝1/3AB?AD，∴h＝2/3AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2+2＝4，
∴由勾股定理可求得BE＝4√2，即PA+PB的最小值为4√2．故选：D．
2.（2019?港南区四模）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．5B．6C．8D．10
【解答】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝8cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝8．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8，故选：C．
3. （2019春?梁溪区期末）如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝√2，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（ ）
A．2√5B．3√2C．9/2D．22/5
【解答】如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝√2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，
∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，由勾股定理可求得CH＝2√5，
∴AE+AF的最小值2√5，故选：A．
4.（2019秋?沙坪坝区校级月考）如图已知EF∥GH，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D交HG于点K．AC＝3，DK＝2，BK＝4．
（1）若CD＝6，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长；
（2）若CD＝13/2，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB的最小值．
【解答】（1）如图1中，连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于N，交EF于M，连接AM，BM．设DM＝x．
（2）如图2中，如图，作点A故直线GH 的对称点A′，点B关于直线EF的对称点B′，连接A′B′交GH于点P，交EF于点Q，作B′H⊥CA交CA的延长线于H．
则此时AP+PQ+QB的值最小．
根据对称的性质可知：PA＝PA′，QB＝QB′，
∴PA+PQ+QB＝PA′+PQ+QB′＝A′B′，
∴PA+PQ+PB的最小值为线段A′B′的长，
【总结反思】
我们已经知道，类似的“将军饮马”问题，最关键的就是要作对称，但怎么做，可能大家并不是十分明确，我们再来好好体会一下：
首先，明确定点，定线，动点．
1．必然是作定点关于定线的对称点！
2．作的次数需要看动点个数！有几个动点在哪些定线上，那么相应的定点就要做关于这些定线的对称点．
原题，只要在一条定线上找一个动点，那只需作定点关于定线的一个对称点．
变式1，要在两条定线找两个动点，则需要作作定点关于定线的两个对称点，即两次．
变式2，要在两条定线找两个动点，则需要作作定点关于定线的对称点与定点关于定线的对称点，也是2个，即2次．
3．作完对称点如何连接也需看作对称次数！
原题，把对称点直接连接另一个定点，则连线与定线上的交点，即为动点．
变式1，把两个对称点连接，与定线上的交点即为动点，分别与定点(军营A)相连．
变式2，把两个对称点连接，与定线上的交点即为动点，分别与定点相连．
如果用口诀来总结，那就是：定点定线作对称，次数就看动点数． 一次对称直连定， 两次对称先相连．
主题测试文章，只做测试使用。发布者：艾迪号，转转请注明出处：https://www.cqaedi.cn/baike/10070.html
微信扫一扫 
