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运筹帷幄——我国古代的高超算术原创

说到算筹，想必很少有人听闻。虽然史上国外（日本、印度、巴基斯坦等）也有过这块腰椎间盘，但还是要数中国的最突出。

先感性认识一下

算筹最早出现于商周，在算盘被发明之前，堪称世界上最先进的计算工具。你可能没听说过，但「运筹帷幄」、「觥筹交错」这些朗朗上口的成语皆出于此。而这所谓先进的计算工具，竟是一根根小小的棍子（长约十几厘米）。棍子的材料多样，竹子、木头、象牙、兽骨、金属、玉器应有尽有，凡能削成棍状的东西皆可为之。当然我们现今所能看到的算筹，多是耐腐蚀材质的。

战国骨筹（图片来自http://www.cnr.cn/sxpd/jd/20170720/t20170720_523860563.shtml#3）

战国铜筹（图片来自http://bbs.chcoin.com/show-6865738.html?authorid=190510）

西汉铅筹（图片来自http://blog.sina.com.cn/s/blog_4551bbe8010105vv.html）

西汉牙筹（截图来自《如果国宝会说话 第二季》第20集）

像我们随身携带手机一样，懂数学的古人通常会随身佩戴丝布制成的算袋，里头放着一把算筹。走在路上碰到欠债不还的，一言不合就能掏出来跟他算账……

图片来自网络

传说秦始皇也经常佩带丝质的算袋。一次东游，他把算袋扔进了海里，变化成乌贼，因此乌贼也有算袋鱼之称。

到了唐朝，更有法律规定文武百官必须佩带算袋。可见在彼时，算筹不单单是一种计算工具，更是文化和身份的象征。

算筹示数

史上第一本记述算筹的专著是一千五百年前的《孙子算经》，作者不详（跟孙武孙膑没有半毛钱关系）。

算筹用红棍表示正数，黑棍表示负数，有纵横两种「布棍」模式，纵式用竖棍表示1、横棍表示5，横式反之：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
纵式
横式

	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9
纵式
横式

0比较特殊，用留空表示。

对于不同的数位，纵式、横式是相间使用的，《孙子算经》如是描述：

凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。

个位上的数字用纵式，十位上的用横式，百位上再用纵式，千位再用横式，以此类推。这样奇怪的做法是考虑到0的存在，比如2018：

2	0	1	8
横式	纵式	横式	纵式

画了表格，才凸显出0的空位。但在实际使用中，尤其在书写（誊抄算法）时，空位很容易被忽略，有了纵横交错的做法，即使没有空位，2和1挨在一起，也不会把2018当成218。

当然这也存在一个问题，比如20018就有被当成218的可能。人们会在「布筹」的计算板上（counting board）划好棋盘一样的表格，或者用围棋子来表示0，以避免这个问题。在书写方面，则引入了圆圈符号——〇。即便如此，纵横交错的形式还是作为经典被始终沿用。

筹算

使用算筹的方法叫筹算，两个字颠倒一下，好比牙刷的使用叫刷牙，不得不感慨中文的博大精深。由于人在阅读时会无意识地忽略文字顺序，所以下文所提「算筹」、「筹算」还请细细分清。

筹算的能力强大，除了最基本的加减乘除，还能进行乘方和开方，纳尼！乘方？开方？！是的，你没有看错，而且远不止这些，筹算甚至能解线性方程（组）、求最大公约数和最小公倍数、解同余式组、造高阶查分表等等，其所用到的负数、小数、分数等较为抽象的数字概念，比西方早出一百年甚至好几百年。

公元480年左右，南北朝数学家祖冲之使用筹算将圆周率精确到小数点后7位（3.1415926~3.1415927之间），这一精度领先世界近千年，直到15世纪初才被打破。这一计算涉及包括开方在内的130次运算，放到今天，如果不用电子计算设备给你一沓草稿纸，恐怕也很难算准。

除了圆周率，著名的秦九韶算法、剩余定理等高超的古代数学成就，都是靠筹算得到的。

其实算筹本身仅仅提供了一种用棍子表示数字的「书写」形式，能做如此复杂的计算，得益于古人一代代智慧积累下来的算法口诀，包括沿用至今的九九乘法表。计算过程和现在的「列竖式」十分相似：

6561 ÷ 9（图片来自维基「Sunzi Suanjing」词条，请无视它为什么不是红色……）

也许你会觉得，筹算虽然强大，但小木棍的摆放好像并不方便。确实需要进行许多机械式的重复步骤，但可谓孰能生巧，厉害的筹算者有着相当可观的计算速度，沈括在《梦溪笔谈》中描述某坏男人淮南人：

运筹如飞，人眼不能逐。

不知是否有夸张的成分，但参考现在娴熟的算盘手，基本也能想象其景。

算筹的不足

筹算虽然强大，然而作为一种质朴的计算工具，终有捉襟见肘的时候。同现今计算机软硬件的相互促进一样，诸多算法为适应筹算模式而生，而算筹本身却渐渐对复杂的算法力不从心——譬如重因法、身外加减法、求一法，听都没听说过，靠一堆小棍棍已经难以应对。加之，筹算时所用算筹数量庞大，表示单个数就可能用到5根，数字越多越繁乱，三国时期魏国人管辂的《管氏地理指蒙》一书甚至以筹喻乱：

形如投算，忧愁紊乱。

而且起初的算筹长约14厘米，摆个6就要占200平方厘米，可以想象，做稍微复杂一点的运算时得放多大一块面积。即使到宋元间改良至1~3寸（3~10cm），面对大计算量的问题依然不好使。宋代马永卿《懒真子》一书就有言：

卜者出算子约百余，布地上，几长丈余。

解道数学题要铺满整个客厅，还得满地爬，不仅是脑力活，更是体力活，搞不好还容易闪着腰啊……

算筹，终被算盘取代。

苏州码子

苏州码子，也叫草码，花码、菁仔码、番仔码、商码，是我国在阿拉伯数字传来之前广泛使用的一种数字形式，是唯一一种现存的书面算筹变种，在港澳街市、旧式餐厅、中药房仍有一点碰到的小概率。

你们见过吗？我是可惜没有见过。

有了这条冷知识，以后出门一定得好好留意，指不定走进哪家餐馆，看到的价目表是酱紫的：

图片来自维基「Suzhou numerals」词条

正当小伙伴们众脸懵逼之时，你一顿潇洒解读，甭提多有面子！！

头条百科了解算筹…

算筹

古代同样长短和粗细的棍子

根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13–14cm，径粗0．2～0．3cm，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。

需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。别看这些都是一根根不起眼的小棍子，在中国数学史上它们却是立有大功的。而它们的发明，同样经历了一个漫长的历史发展过程。

基本信息

计数法

算筹

在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的，其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示。表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空。这种计数法遵循一百进位制。据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。《夏阳侯算经》说：满六以上，五在上方。六不积算，五不单张。

发明

算筹的发明就是在以上这些记数方法的历史发展中逐渐产生的。它最早出现在何时，已经不可查考了，但至迟到春秋战国；算筹的使用已经非常普遍了。前面说过，算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，那么怎样用这些小棍子来表示各种各样的数目呢？

摆法

算筹

那么为什么又要有纵式和横式两种不同的摆法呢？这就是因为十进位制的需要了。所谓十进位制，又称十进位值制，包含有两方面的含义。其一是"十进制"，即每满十 数进一个单位，十个一进为十，十个十进为百，十个百进为千……其二是"位值制，即每个数码所表示的数值，不仅取决于这个数码本身，而且取决于它在记数中所处的位置。如同样是一个数码"2"，放在个位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000……在我国商代的文字记数系统中，就已经有了十进位值制的萌芽，到了算筹记数和运算时，就更是标准的十进位值制了。

算筹

早在两千多年前，我国古代劳动人民就发明了乘法的计算方法。不过，当时的方法与现在的不一样，用算筹来进行计算的。算筹就是用竹子或其他材料做成的一根根小棒。当时用小棒表示数的方法有横式和纵式两种(表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推，遇零则置空)，如图1。

用算筹进行乘法计算，先摆乘数于上，再摆被乘数于下，并使上数的末位与下数的首位对齐，按从左到右的顺序用上数首位乘下数各位，把乘得的积摆在上下两数中间，然后将上数的首位去掉、下数向右移动一位，再以上数第二位乘下数各位，加入中间的乘积，并去掉上数第二位。直到上数各位用完，中间的数便是结果。下面以183×26为例具体说明一下：

1．把乘数26摆在上面，被乘数183摆在下面，被乘数的个位与乘数的十位对齐，中间留有空余，准备摆乘得的积(如图2)；

2．从高位乘起，用乘数十位上的2乘被乘数183，得3660，摆在中间，积的数位与被乘数对齐(如图3，积的个位0用空位表示)；

算筹

3．去掉已乘过的乘数十位上的数字2，把乘数个位6移至与被乘数的个位对齐的位置(如图4)；

算筹

4．用乘数个位6乘被乘数183，所得的积与3660相加，最后得积4758(如图5)。

规则

按照中国古代的筹算规则，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式等等（到搜狗可以查）这样从右到左，纵横相间，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了。由于它位与位之间的纵横变换，且每一位都有固定的摆法，所以既不会混淆，也不会错位。毫无疑问，这样一种算筹记数法和现代通行的十进位制记数法是完全一致的。

十进位制

中国古代十进位制的算筹记数法，在世界数学史上是一个伟大的创造。把它与世界其他古老民族的记数法作一比较，其优越性是显而易见的。古罗马的数字系统没有位值制，只有七个基本符号，如要记稍大一点的数目就相当繁难。古美洲玛雅人虽然懂得位值制，但用的是20进位；古巴比伦人也知道位值制，但用的是60进位。20进位至少需要19个数码，60进位则需要59个数码，这就使记数和运算变得十分繁复，远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位制来得简捷方便。中国古代数学之所以在计算方面取得许多卓越的成就，在一定程度上应该归功于这一符合十进位制的算筹记数法。马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位记数法为"最妙的发明之一"，当然是一点也不过分。

古代数学成就

在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的，其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示。表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空。这种计数法遵循十进位制。算筹的出现年代已经不可考，但据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年（公元前722年～公元前221年）。

两千多年前我们的祖先就懂得了这样精妙的计算，真是神奇！在这当中，算筹功不可没，它是在珠算发明以前中国独创并且是最有效的计算工具。中国古代数学的早期发达与持续发展都是受惠于算筹的。

商码计数法（中国三千年前商周时代发明的十进制算筹计数法的具体运用）

转自…青灯盦主人

旧时表示数目的符号,也叫草码，商码。此外，零还是0。

【商码字符】〡 〢 〣 〤 〥 〦 〧 〨 〩 十

【对应数字】

商码：〡 〢 〣 〤 〥 〦 〧 〨 〩 十

汉字：一 二 三 四 五 六 七 八 九 十

大写：壹 贰 叁 肆 伍 陆 柒 捌 玖 拾

阿拉伯：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

【书写】

1，就写一个竖；

2，两个竖：〢

3， 三个竖：〣

4，是个交叉：〤

5，写成〥，其实只是 5 字写得草和快

6，写成一点加一横，其中的一点，代表了5：〦

7，写成一点加两横：〧

8，一点加三横：〨

9，写成“久”的草体：〩

【使用举例】

古代人计数都用算盘，上面一点就像算盘上档拨下一个子，表示五，所以〦是六，〧是七，很好理解。需要说明的是，当〡 〢 〣 相遇时, 中间会变成横划. 否则“| | |”就不知道是一百一十一, 三, 廿一, 还是十二了。

例如：2134，要写成 ：〢一〣〤；

32，要写成：〣二。

真正运用这些符号，还要结合古代账本竖写的特点。否则，多看少看一个数字，差别太大，通常要记作两行。

例如，标价5角9分，会写作：〥〩

▲

这个▲代表“角”，它的尖头，一般放在〥和〩中间的下方。

又比如：标价5元8角，会写作：〥〨

●

这个●代表“元（圆）”，它一般放在〥和〨中间的下方。

再如，标价3908元，会写作：〣〩0〨

仟

一说仟字要放在〣的下面，可能是各地习惯也有所不同。但要在第一位数字右下方（或下方）标注 。

摘自 陈先枢先生。