matlab绝对值（matlab绝对值符号怎么输入）

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因素分析是从研究对象中寻找公共因素的一种方法。

比较判别分析、聚类分析、因素分析：

对面来了一群女生，我们一眼就能分辨出谁漂亮谁丑，这就是判断分析；而在我们心目中，这群女生会分为两类:美的和丑的，这就是聚类分析；我们之所以认为一个女孩漂亮，是因为她有一些共同点，比如漂亮的脸，高挑的身材等等。从研究对象中寻找公共因素的方法是因素分析。

因素分析还利用降维思维将每个原始变量分解为两部分，一部分是几个公共因素的线性组合，另一部分是变量的独特特殊因素，其中公共因素和特殊因素是不可观察的隐藏变量，我们需要对公共因素做出实际合理的解释。

1.因子分析简介

1.1 基本因素分析模型

设p维总体x=(x1,x2,…,xp)’的均值为u=(u1,u2,…,u3)’，因子分析的一般模型是

x1=u1 a11f1 a12f2 … a1mfm ε1

x2=u2 a21f1 a22f2 … a2mfm ε2

…

.. . . .

xp=up ap1f1 fp2f2 … apmfm εp

其中，f1,f2,…,fm为m个公共因素；εi是变量xi(i=1,2,…,p)所有独特的特殊因素都是不可观测的隐变量。称aij(i=1,2,…,p;j=1,2,…,m)它反映了公共因素对变量的重要性，对公共因素的解释起着重要作用。上表可以写成矩阵形式

x=u Af ε

其中A=(aij)pxm 称为因子载荷矩阵；f=(f1,f2,…,fm)对公共因素的向量；ε=(ε1,ε2,…εp)称为特殊因素向量

1.2 共性方差和特殊方差

xi的方差var(xi)由两部分组成，一是公共因素对xi方差的贡献，称为共性方差；一是特殊因素对xi方差的贡献，称为特殊方差。各原始变量的方差分为共性方差和特殊方差两部分。各原始变量的方差分为共性方差和特殊方差两部分。

1.3 因子旋转

因素分析的主要目的是对公共因素给出实际意义的合理解释，解释的基础是因素载荷阵列中个列元素的值。当因子载荷阵列中每个元素的绝对值差异较大，绝对值较小时，公共因素很容易解释。相反，公共因素的解释更加困难。此时，可以考虑旋转因子和因子载荷（如正交旋转），使旋转因子载荷阵列的绝对值尽可能两极分化，使因子的解释变得容易。

正交旋转和斜交旋转有两种因子旋转方法，这里只介绍一种常用的正交旋转方法：最大方差旋转。这种旋转方法的目的是使因子载荷阵列中每个元素的绝对值（或平方值）尽可能两极分化，即少数元素的绝对值（或平方值）尽可能大，其他元素尽可能接近0.

1.4 因子得分

对公共因素进行合理解释后，有时还需要对各种观测对应的公共因素进行评分，例如，我们知道一个女孩是一个美丽的女孩，也许很多人更关心她应该给她的脸、身材和其他分数，常用的因素得分方法是加权最小的二乘法和回归法。

注：因子载荷矩阵与得分矩阵的区别：

因子载荷矩阵是各种原始变量的因子表达系数，表达提取的公因子对原始变量的影响。

注：因子载荷矩阵与得分矩阵的区别：

因子载荷矩阵是每个原始变量的因子表达系数，表达提取的公共因子对原始变量的影响。因子得分矩阵表示指数变量与提取的公共因素之间的关系，在某个公共因素上得分较高，表明指数与公共因素之间的关系越密切。简单地说，原始指标变量的线性组合可以通过因子载荷矩阵获得，如X1=a11*F1 a12*F2 a13*F3,其中X一是指标变量1，a11、a12、a与变量分别为13X1在同一行的因子载荷，F1、F2、F三是提取的公因子；公因子的线性组合可以通过因子得分矩阵得到，如F1=a11*X1 a21*X2 a31*X三、字母代表的意义相同。

1.5 在因子分析中Heywood(海伍德)现象

如果x的每个重量都是标准化的，那么它的方差=1。

1.5 在因子分析中Heywood(海伍德)现象

如果x的每个重量都是标准化的，那么它的方差=1.即共性方差与特殊方差的和为1。也就是说，共性方差和特殊方差大于0，小于1。但在实际参数估计中，共性方差的估计可能等于或超过1，如果等于1，则称为海伍德现象，如果超过1，则称为超海伍德线性。超海伍德现象意味着某些特殊因素的方差为负，说明肯定有问题。造成这种现象的可能原因包括：

共性方差本身估计的问题；

共性因素太多，出现过拟合；

共性因素太少，导致拟合不足；

数据太少，无法提供稳定的估计；

这些数据不适用于因子模型。

海伍德现象或超海伍德现象发生时，应谨慎对待估计结果。您可以尝试增加数据量或改变公共因素数量，使公共因素数量在允许范围内发生变化，观察估计结果是否发生变化；您也可以尝试使用其他多种统计方法进行分析，如主要成分分析。

2. MATLAB函数因子分析

MATLAB提供factoran函数进行因子分析。

factoran函数用于根据原始样本观测数据、样本协方差矩阵和样本相关系数矩阵，计算因子模型总因子载荷矩阵A的最大似然估计，并要求特殊方差的估计、因子旋转矩阵和因子得分，并测试因子模型。factoran函数的调用格式如下：

<1>lambda=factoran（X，m）

包含m个公共因子模型的负载矩阵返回lambda。X是输出参数n行d列矩阵，每行对应一个观测，每列对应一个变量。m它是一个正整数，表示模型中公共因素的数量。输出参数lambda是d行m列矩阵，第i行第j列元素表示第i变量在第j公共因素上的载荷。

<2>[lambda,psi]=factoran（X,m）

似乎估计了返回特殊方差的最大值psi，psi它是包含d元素的列向量，对应d特殊方差的最大显然估计。

<3>[lambda，psi，T]=factoran（X，m）

返回m行m旋转矩阵列T

<4>[lambda,psi,T,stats]=factoran（X,m）

返回包含模型检验信息的结构体变量stats，模型检验的原假设是H0：因子数=m。输出参数stats包括四个字段，其中stats.loglike表示对数似然的最大值，stats.def表示误差自由度，stats,chisq表示近似卡方检验统计量，stats.p表示检验的p值。对于给定的显著水平a，如果检测到的p值大于显著水平a，接受原假设H0.说明用含m个公共因素的模型拟合原始数据是合适的，否则拒绝原始假设，说明拟合不合适。对于给定的显著水平a，如果检测到的p值大于显著水平a，接受原假设H0.说明用含m个公共因素的模型拟合原始数据是合适的，否则拒绝原始假设，说明拟合不合适。

<5>[lambda,psi,stats,F]=factoran（X,m）

返回因子得分矩阵F。F是一个n行m列矩阵，每行对应一个观测到的m公共因素的得分。如果X是协方差矩阵或相关系数矩阵，则factoran函数不能及时得分。factoran负载阵lambda和因子得分用相同的旋转矩阵计算F。

<6>[…]=factoran(…,param1,val1,param2,val2,…)

允许用户指定可选的参数名和参数值来控制模型的拟合和输出，可用参数名和参数值如下：

‘xtype’

指定输出参数X的类型

‘data’

原始数据(默认情况)

‘covariance’

正定协方差矩阵或相关系数矩阵

‘scores’

预测因素得分的方法。若X不是原始数据，‘score’将被忽略

‘wls’‘Bartlett’

加权最小二乘估计(默认情况)

‘regression’‘Thomson’

最小均方误差法，相当于岭回归

‘start’

特殊方差psi的初始值似乎估计得最大

‘random’

在[0中选择d 1]服从均匀分布的随机数

‘Rsquared’

乘以一个尺度因子diag(inv(corrcoef(X)))作为初始点(默认)

正整数

指定最大似然法拟合的次数

矩阵

用矩阵指定最大似然法的初始点

‘rotate’

指定因子载荷矩阵和因子得分矩阵的旋转方法

‘none’

不进行旋转

‘equamax’

Orthomax旋转的特殊情况

‘orthomax’

最大方差旋转法

‘parsimax’

Orthomax旋转的特殊情况(默认)

‘pattern’

斜交旋转(默认)或正交旋转

‘procrustes’

斜交旋转(默认)或正交旋转

‘promax’

执行斜交procrustes旋转

‘quartimax’

Orthomax旋转的特殊情况

Varimax

Orthomax在特殊情况下旋转

函数句柄

用户定制旋转函数的句柄

参数名	参数值	说明
‘coeff’	一个介于0-1之间的数字	不同的值对应不同的orthomax旋转
‘normalize’	‘on’或1‘off’或0	若为‘on’或1,(默认)单位化‘单位化’off或0，不进行单位化
‘reltol’	正标量	指定‘orthomax’或‘varimax收敛容限
‘maxit’	正整数	指定‘orthomax’或‘varimax最大的迭代次数，默认250
‘target’	}矩阵	指定‘orthomax’旋转所必须的目标因子载荷阵
‘type’	‘oblique’或‘orthogonal’	指定‘procrustes’旋转的类型，默认‘oblique’
‘power’	大于或等于1的变量	指定‘promax’旋转中生成目标矩阵的幂指数，默认值是4
‘userargs’	自定义旋转的额外参数	一个标记开始位置的参数
‘nobs’	正整数	指定实际观测的个数
‘delta’	[0,1)内的标量	设定最大似然估计中特殊方差 psi 的下界，默认0.005

‘qptimopts’

由命令statset(‘factoran’)生成的结构体变量

指定用来计算最大似然估计的迭代算法的控制参数

3.基于样本观测值矩阵的因子分析

下表列出了奥运会上55个国家和地区男子径赛的成绩数据。

%读取数据

[X,textdata]=xlsread(‘径赛成绩.xls’);%读取数据

X=X(:,3:end); %提取X的第3至最后一列，即要分析的数据

varname=textdata(4,3:end);%提取textdata的第4行，第3至最后一列，即变量名

obsname=textdata(5:end,2);%提取textdata的第2列，第5行至最后一行，即国家名或地区名

（1）4个公共因子

%调用factoran函数根据原始观测数据作因子分析

% 从原始数据）出发，进行因子分析，公共因子数为4

% 进行因子旋转(最大方差旋转法)

[lambda,psi,T,stats]=factoran(X,4)

%计算贡献率，因子载荷矩阵的列元素的平方和除以维数

Contribut=100*sum(lambda.^2)/8

CumCont=cumsum(Contribut) %计算累积贡献率

lambda=

0.2786 0.9537 0.0229 -0.0115

0.3857 0.8530 0.1155 0.0794

0.5339 0.7211 0.2231 0.0133

0.6679 0.5884 0.3984 0.0271

0.7852 0.5020 0.2316 0.2177

0.8963 0.3866 0.0919 0.0441

0.9076 0.3966 0.0722 0.0276

0.9132 0.2759 0.0889 -0.0473

psi=

0.0122

0.1040

0.1449

0.0484

0.0305

0.0368

0.0130

0.0797

T=

0.7359 0.6640 0.1248 0.0450

0.6576 -0.7471 0.0762 0.0600

-0.1612 -0.0180 0.9055 0.3921

0.0102 -0.0240 0.3984 -0.9169

stats=

loglike: -0.0159

dfe: 2

chisq: 0.7600

p: 0.6839

Contribut=

50.4392 39.2256 3.7195 0.7459

CumCont=

50.4392 89.6648 93.3843 94.1303

结果分析：

从因子载荷矩阵的估计lambda来看，前2列个元素的取值差距较大，也就是说前2个因子易于解释，而后2列元素取值都比较小，后两个因子很难给出合理的解释。

从特殊方差矩阵的估计psi来看，各变量的特殊方差都比较小， 并没有出现海伍德现象，这说明4因子模型的拟合效果非常好。

从模型检验信息stats来看，检验的p值为0.6830>0.05,说明在显示性水平0.05下接受原假设，原假设是H0：m=4，也就是说用4个公共因子的因子模型拟合原始数据是比较合适的。

从贡献率Contribut和累积贡献率CumCont来看，前2个因子对原始数据总方差的贡献率分别为50.4392和39.2256，累积贡献率达到了89.6648%，这说明因子模型中公共因子的数目还可以进一步减少，只考虑2个公共因子应该是比较合适的。

（2）2个公共因子

% 从原始数据出发，进行因子分析，公共因子数为2

% 进行因子旋转(最大方差旋转法)

[lambda,psi,T,stats,F]=factoran(X, 2)

Contribut=100*sum(lambda.^2)/8 %计算贡献率

CumCont=cumsum(Contribut) %计算累积功效率

%为了显示直观，定义元胞数组，以元胞数组形式显示因子载荷阵

[varname’ num2cell(lambda)]

lambda=

0.2876 0.9145

0.3790 0.8835

0.5405 0.7460

0.6891 0.6244

0.7967 0.5324

0.8993 0.3968

0.9058 0.4019

0.9138 0.2809

psi=

0.0810

0.0758

0.1514

0.1353

0.0817

0.0338

0.0180

0.0860

T=

0.8460 0.5331

-0.5331 0.8460

stats=

loglike: -0.3327

dfe: 13

chisq: 16.3593

p: 0.2303

F=

0.3559 -0.2915

-0.4780 -0.8471

-0.7700 0.2096

-0.8101 -0.2296

1.5513 -1.2863

0.1130 -0.9439

0.4870 0.6517

-0.1077 -0.9427

0.1283 -0.3221

-0.0807 0.3137

-0.6971 0.4201

2.1491 3.8666

-0.7703 2.0418

-0.3658 -0.3744

-0.5524 -0.0057

2.2451 -1.6206

-0.8307 -0.0362

-0.2249 -1.0027

-0.5469 -0.9058

-0.4472 -0.9495

-0.5690 -1.0585

0.3541 -0.6699

-0.1484 1.7113

-0.1908 -0.4946

-0.4443 0.6125

1.1054 0.2773

-0.9685 0.5613

-0.3487 0.6141

-0.1339 -1.5855

-0.7194 0.0366

-1.0005 -0.0460

0.2728 -0.2344

-0.4679 1.7101

0.1439 -0.2381

1.6495 -0.9003

0.8386 1.7727

-0.8522 0.5704

-0.9430 0.2815

-1.0196 0.3119

-1.0439 0.6911

0.9329 1.1914

0.8011 0.5121

-0.2759 -0.9260

-1.3163 0.8694

-0.8484 0.2215

1.9305 -0.5694

-0.7851 0.0249

-0.4985 -0.4038

-0.6000 -0.3152

0.3723 0.2694

2.3334 -0.8775

-0.8423 1.1545

-0.1616 -1.8243

-0.2886 -1.2890

3.3842 0.2935

Contribut=

51.1556 40.5565

CumCont=

51.1556 91.7121

ans=

‘100米’ [0.2876] [0.9145]

‘200米’ [0.3790] [0.8835]

‘400米’ [0.5405] [0.7460]

‘800米’ [0.6891] [0.6244]

‘1500米’ [0.7967] [0.5324]

‘5000米’ [0.8993] [0.3968]

‘10000米’ [0.9058] [0.4019]

‘马拉松’ [0.9138] [0.2809]

结果分析：

从此时的因子载荷阵的估计lambda来看，5000m，10000m和马拉松的成绩在第1个公共因子的载荷比较大，说明第1个公共因子反映的是人的耐力，可解释为耐力因子；100m和200m的成绩在第2个公共因子上的载荷比较大，说明第2个公共因子反映的是人的速度，可解释为速度因子。两个因子对原始数据总方差的贡献率分别为51.1556%和40.5565%，累积贡献率达到了91.7121%。

从特殊方差矩阵的估计psi来看，个变量的特殊方差也都比较小，只有400m和800m的成绩对应的特殊方差超过了0.1，并没有出现海伍德现象，这说明2因子模型的拟合效果是非常好的。

从模型检验信息stats来看，检验的p值为0.2303>0.05，可知在显著性水平0.05下接受原假设，原假设H0：m=2，也就是说用2个公共因子的因子模型拟合原始数据是合适的。

（3）因子得分

下面将因子得分F分别按耐力因子得分和速度因子得分进行排序，以便分析各个国家或地区在径赛项目上的优势。

%将因子得分F分别按耐力因子得分和速度因子得分进行排序

obsF=[obsname, num2cell(F)] %将国家和地区名与因子得分刚在一个元胞数组中显示

F1=sortrows(obsF, 2) ; % 按耐力因子得分排序

F2=sortrows(obsF, 3); % 按速度因子得分排序

head={‘国家/地区’,’耐力因子’,’速度因子’};

result1=[head; F1]

result2=[head; F2]

因为数据较多，先不显示，然后做出因子得分的散点图。

从因子得分的取值可以看出，速度优势越明显的国家或地区，其速度因子得分值越小。耐力优势越明显的地区，其耐力因子得分值越小，因此用因子得分的负值做出散点图，从散点图上可以看出各个国家和地区在径赛上的优势。

%绘制因子得分负值的散点图

plot(-F(:,1),-F(:,2),’k.’);%作因子

xlabel(‘耐力因子得分（负值）’);

ylabel(‘速度因子得分（负值）’);

gname(obsname);%交互式添加各散点的标注